פרופ' ברק מדינה מכהן בקתדרה לזכויות האדם על-שם השופט חיים ה. כהן ז"ל בפקולטה למשפטים באוניברסיטה העברית בירושלים. הוא כיהן בתפקיד רקטור האוניברסיטה העברית (2017 עד 2022) ולפני כן בתפקיד דיקן הפקולטה למשפטים (2009 עד 2012). פרופ' מדינה הוא בעל תארי בוגר במשפטים ובכלכלה ומוסמך בכלכלה, כולם באוניברסיטת תל-אביב, תואר מוסמך במשפטים באוניברסיטת הרווארד ודוקטור בכלכלה באוניברסיטה העברית. הוא כיהן כפרופסור אורח בבתי-הספר למשפטים של אוניברסיטת קולומביה בניו-יורק ואוניברסיטת קליפורניה בברקלי.

תחומי ההוראה והמחקר העיקריים של פרופ' מדינה הם משפט חוקתי וניתוח כלכלי של המשפט. מחקריו עוסקים בזכות לשוויון, חופש הביטוי, ביקורת שיפוטית, חוקתיות ועוד. הוא המחבר של שבעה ספרים, ובהם: הספר המרכזי על המשפט החוקתי של מדינת ישראל (עם אמנון רובינשטיין) והספר "משפט, כלכלה ומוסר" (עם אייל זמיר), שעוסק בשילוב דאונטולוגית סף בניתוח כלכלי של המשפט. ספרו האחרון הוא מונוגרפיה בת כאלף עמודים שעוסקת בדיני זכויות האדם בישראל.

בתפקידו כרקטור האוניברסיטה העברית היה פרופ' מדינה שותף לקידום המצוינות האקדמית במחקר ובהוראה ולקידום שוויון באוניברסיטה. בין היתר, הוביל פרופ' מדינה צעדים נרחבים להגדלת המגוון בקרב ציבור הסטודנטים וחברי הסגל באוניברסיטה, ובכלל זה הגדלת שיעור הסטודנטים והסטודנטיות הערבים והחרדים, וכן הגדלת שיעור הסטודנטים שהם דור ראשון להשכלה גבוהה.